第171章 天阶斗技
玄浑道章小说推荐阅读：Apop之我在首尔当外教、赘婿出山、泥泞、股神传奇、乡村中医李茂阳、开局账号被盗，反手充值一百万、极品全能学生、推拿、最强狂兵、带着超市重返年代、都市：我的器官能自己强化、不装了，我有五个天仙姐姐！、国宝神鉴
“各位老师好，我是云川。
我的论文题目是《高余维极小曲面在加权SObOlev空间中的紧性理论与Almgren猜想的一个变体》。”
论文长度和密度让台下学长学姐倒吸凉气。
天阶斗技就这么水灵灵地亮出来。
云川看了眼5位正襟危坐的老师，缓缓开口，声音不高，掷地有声。
“极小曲面理论是几何测度论的核心分支之一。
它的研究对象是满足某种极小性条件的曲面。
经典的PlateaU问题，即在给定边界条件下寻找面积最小的曲面——已经被解决，但高余维的情况要比余维一的情况复杂得多。
主要原因在于，高余维极小曲面可能出现奇异集，而这些奇异集的结构至今没有被完全理解。”
“Almgren在他1999年的专著中，对高余维极小曲面的奇异集结构做出了开创性分析，证明了奇异集的HaUSdOrff维数不超过n-2。
但他的证明依赖于一套极其复杂的非线性逼近理论。
技术难度极高。
后续学者在推广和应用时遇到了很多困难。
我这篇论文可以看作是对Almgren理论框架的一种简化和推广。”
好，前言介绍结束，开始动真格。
云川扒拉了一下鼠标，PPT翻到第4页。
“我引入了一个加权SObOlev空间的框架，定义了空间W^{1,p}(Ω, W)。
其中W是一个属于A_p类的MUCkenhOUpt权函数。
这个空间相比于传统的SObOlev空间，能够更好地描述极小曲面在某些退化或奇异区域附近的性态。
我的第一个主要定理是：在这个加权SObOlev空间中，高余维极小曲面的拟嵌入序列具有某种紧性。”
“这个紧性定理的证明，依赖于我对Almgren的‘多次逼近’技术做的一个关键改进。
Almgren原来的方法需要构造一个无限迭代的逼近序列，每一步都要重新调整尺度函数，计算量极大，而且对初始条件非常敏感。
我改用了一种基于加权MOrrey空间的估计方法，将逼近次数从无限次压缩到了有限次，并且给出了一个显式的误差控制。”
说到这，云川干脆拿起粉笔，在身后的黑板上写下推导公式。
发出的笃笃声，像恐怖片里的间奏，狠狠砸落所有人心房。
亲眼目睹云川刻意留白，让答辩老师消化理解，学长学姐们头皮发麻。
对数院云川的含金量有了更直观、具体的认知。
本科答辩还能这样？
哪是答辩啊，分明搁这开讲座呢。
答辩老师都快成迷弟了。
“具体来说，我证明了如果{U_k}是极小曲面的一个拟嵌入序列，那么在经过适当的伸缩和平移之后，存在一个子序列在加权SObOlev空间中强收敛到一个极限函数U。
而这个极限函数本身也描述了一个广义极小曲面。
这个结果的意义在于，它为研究高余维极小曲面的紧性提供了一种新的工具，而且相比于Almgren原来的方法，更容易推广到其他几何变分问题中。”
台下，5位老师面面相觑，恍如隔世。
等会儿等会儿，什么叫你为研究高余维极小曲面的紧性提供了一种新的工具？
也就是说，当别人还在各种查资料，中译中憋论文的时候，你搞出了学术创新，补齐了数学短板？
虽然只是一小块，但这是本科毕业论文啊！
不是吧，大哥！！！
不等老师细想，云川加快了语速，继续讲下一部分。
理论上来说，每位同学的答辩时间不超过10分钟。
讲述6分钟，答辩4分钟。
讲述时间已经过半，不快不行啊。
“接下来是我论文的第二部分。
Almgren猜想的一个变体。
Almgren猜想指出，n维极小曲面在R^{n+1}中的奇异集维数不超过n-2。
这个猜想在余维一的情况下已经被完全证明，但在高余维的情况下仍然是一个开放问题。
我在这篇论文中证明了一个与之相关的变体结果……”
时间一分一秒过去，讲完定理证明翻到致谢页，云川往旁边挪了两步，向台下5位答辩老师鞠躬致谢。
“以上就是我的论文主要内容，请各位老师斧正。”
5位答辩老师左瞧瞧右看看，交换眼色，互相推辞，好像一群柳下惠搁那玩孔融让梨。
没办法，他们真的挑不出毛病。
硬挑的话感觉像找茬。
最后还是坐中间的答辩委员会主席站了出来。
“云川同学，我有一个问题。”
“你在论文的第27页引用了De GiOrgi的一个正则性定理，然后用它来推导你的命题3.2。
但De GiOrgi的原始结果是针对余维一情况的，你把它推广到高余维的时候，是否需要对权重函数W施加额外的限制？”
云川不假思索道：“需要，我在论文的第28页到第30页之间专门讨论了这个问题。
具体来说，我要求权重函数W不仅属于A_p类，还需要满足一个额外的局部一致条件——我称之为A_p^lOC条件。
在这个条件下，De GiOrgi的正则性定理可以被推广到高余维的情况。
我在附录B中给出了这个推广的详细证明。
核心思想是利用加权SObOlev空间中的嵌入定理和MOSer迭代技巧。”
老师满意地点点头，一脸欣慰，带头鼓掌。
其余老师也后知后觉，纷纷鼓掌。
台下，学长学姐肃然起敬，仰望大佬。
被云川身上表现出来的自信张扬，蓬勃向上的生命力击中。
智性恋呼叫告急！！！
在旁人惊艳的注视下，云川的本科生涯划上了圆满的句号。
答辩成绩要过几天才公布。
他肯定能过啦。
没过只有一种可能，答辩老师和马文渊教授有仇。
不然没道理不过。
又是一篇能发四大顶刊的论文。
不用想，一个优秀毕业论文肯定少不了。
兴许还能得个学术创新奖。
走出答辩教室，云川衣角带风，意气风发。
仿佛连阳光都是甜的。
感觉自己魅力无限。
“喂，妈，耍剑呢。
不是把女孩肚子搞大，想啥呢？
跟你说个事，我本科毕业了。”
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我的论文题目是《高余维极小曲面在加权SObOlev空间中的紧性理论与Almgren猜想的一个变体》。”
论文长度和密度让台下学长学姐倒吸凉气。
天阶斗技就这么水灵灵地亮出来。
云川看了眼5位正襟危坐的老师，缓缓开口，声音不高，掷地有声。
“极小曲面理论是几何测度论的核心分支之一。
它的研究对象是满足某种极小性条件的曲面。
经典的PlateaU问题，即在给定边界条件下寻找面积最小的曲面——已经被解决，但高余维的情况要比余维一的情况复杂得多。
主要原因在于，高余维极小曲面可能出现奇异集，而这些奇异集的结构至今没有被完全理解。”
“Almgren在他1999年的专著中，对高余维极小曲面的奇异集结构做出了开创性分析，证明了奇异集的HaUSdOrff维数不超过n-2。
但他的证明依赖于一套极其复杂的非线性逼近理论。
技术难度极高。
后续学者在推广和应用时遇到了很多困难。
我这篇论文可以看作是对Almgren理论框架的一种简化和推广。”
好，前言介绍结束，开始动真格。
云川扒拉了一下鼠标，PPT翻到第4页。
“我引入了一个加权SObOlev空间的框架，定义了空间W^{1,p}(Ω, W)。
其中W是一个属于A_p类的MUCkenhOUpt权函数。
这个空间相比于传统的SObOlev空间，能够更好地描述极小曲面在某些退化或奇异区域附近的性态。
我的第一个主要定理是：在这个加权SObOlev空间中，高余维极小曲面的拟嵌入序列具有某种紧性。”
“这个紧性定理的证明，依赖于我对Almgren的‘多次逼近’技术做的一个关键改进。
Almgren原来的方法需要构造一个无限迭代的逼近序列，每一步都要重新调整尺度函数，计算量极大，而且对初始条件非常敏感。
我改用了一种基于加权MOrrey空间的估计方法，将逼近次数从无限次压缩到了有限次，并且给出了一个显式的误差控制。”
说到这，云川干脆拿起粉笔，在身后的黑板上写下推导公式。
发出的笃笃声，像恐怖片里的间奏，狠狠砸落所有人心房。
亲眼目睹云川刻意留白，让答辩老师消化理解，学长学姐们头皮发麻。
对数院云川的含金量有了更直观、具体的认知。
本科答辩还能这样？
哪是答辩啊，分明搁这开讲座呢。
答辩老师都快成迷弟了。
“具体来说，我证明了如果{U_k}是极小曲面的一个拟嵌入序列，那么在经过适当的伸缩和平移之后，存在一个子序列在加权SObOlev空间中强收敛到一个极限函数U。
而这个极限函数本身也描述了一个广义极小曲面。
这个结果的意义在于，它为研究高余维极小曲面的紧性提供了一种新的工具，而且相比于Almgren原来的方法，更容易推广到其他几何变分问题中。”
台下，5位老师面面相觑，恍如隔世。
等会儿等会儿，什么叫你为研究高余维极小曲面的紧性提供了一种新的工具？
也就是说，当别人还在各种查资料，中译中憋论文的时候，你搞出了学术创新，补齐了数学短板？
虽然只是一小块，但这是本科毕业论文啊！
不是吧，大哥！！！
不等老师细想，云川加快了语速，继续讲下一部分。
理论上来说，每位同学的答辩时间不超过10分钟。
讲述6分钟，答辩4分钟。
讲述时间已经过半，不快不行啊。
“接下来是我论文的第二部分。
Almgren猜想的一个变体。
Almgren猜想指出，n维极小曲面在R^{n+1}中的奇异集维数不超过n-2。
这个猜想在余维一的情况下已经被完全证明，但在高余维的情况下仍然是一个开放问题。
我在这篇论文中证明了一个与之相关的变体结果……”
时间一分一秒过去，讲完定理证明翻到致谢页，云川往旁边挪了两步，向台下5位答辩老师鞠躬致谢。
“以上就是我的论文主要内容，请各位老师斧正。”
5位答辩老师左瞧瞧右看看，交换眼色，互相推辞，好像一群柳下惠搁那玩孔融让梨。
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“你在论文的第27页引用了De GiOrgi的一个正则性定理，然后用它来推导你的命题3.2。
但De GiOrgi的原始结果是针对余维一情况的，你把它推广到高余维的时候，是否需要对权重函数W施加额外的限制？”
云川不假思索道：“需要，我在论文的第28页到第30页之间专门讨论了这个问题。
具体来说，我要求权重函数W不仅属于A_p类，还需要满足一个额外的局部一致条件——我称之为A_p^lOC条件。
在这个条件下，De GiOrgi的正则性定理可以被推广到高余维的情况。
我在附录B中给出了这个推广的详细证明。
核心思想是利用加权SObOlev空间中的嵌入定理和MOSer迭代技巧。”
老师满意地点点头，一脸欣慰，带头鼓掌。
其余老师也后知后觉，纷纷鼓掌。
台下，学长学姐肃然起敬，仰望大佬。
被云川身上表现出来的自信张扬，蓬勃向上的生命力击中。
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在旁人惊艳的注视下，云川的本科生涯划上了圆满的句号。
答辩成绩要过几天才公布。
他肯定能过啦。
没过只有一种可能，答辩老师和马文渊教授有仇。
不然没道理不过。
又是一篇能发四大顶刊的论文。
不用想，一个优秀毕业论文肯定少不了。
兴许还能得个学术创新奖。
走出答辩教室，云川衣角带风，意气风发。
仿佛连阳光都是甜的。
感觉自己魅力无限。
“喂，妈，耍剑呢。
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跟你说个事，我本科毕业了。”
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